©PaperWeekly 原创 · 作者 | 苏剑林相信很多读者都听说过甚至读过克莱因的《高观点下的初等数学》[1] 这套书，顾名思义，这是在学到了更深入、更完备的数学知识后，从更高的视角重新审视过往学过的初等数学，以得到更全面的认知，甚至达到温故而知新的效果。类似的书籍还有很多，比如《重温微积分》[2]、《复分析：可视化方法》[3] 等。
回到扩散模型，目前我们已经通过三篇文章从不同视角去解读了DDPM，那么它是否也存在一个更高的理解视角，让我们能从中得到新的收获呢？当然有，《Denoising Diffusion Implicit Models》[4] 介绍的 DDIM 模型就是经典的案例，本文一起来欣赏它。
在《生成扩散模型漫谈：DDPM = 贝叶斯 + 去噪》中，我们提到过该文章所介绍的推导跟 DDIM 紧密相关。具体来说，文章的推导路线可以简单归纳如下：
这个过程是一步步递进的。然而，我们发现最终结果有着两个特点：也就是说，尽管整个过程是以 为出发点一步步往前推的，但是从结果上来看，压根儿就没 的事。那么，我们大胆地“异想天开”一下：高观点1：既然结果跟 无关，可不可以干脆“过河拆桥”，将 从整个推导过程中去掉？
没有给定 怎么能得到 ？这其实是思维过于定式了，理论上在没有给定 的情况下， 的解空间更大，某种意义上来说是更加容易推导，此时它只需要满足边际分布条件：我们用待定系数法来求解这个方程。在上一篇文章中，所解出的 是一个正态分布，所以这一次我们可以更一般地设：其中 都是待定系数，而为了不重新训练模型，我们不改变 和 ，于是我们可以列出：其中，并且由正态分布的叠加性我们知道 。对比 的两个采样形式，我们发现要想（1）成立，只需要满足两个方程：可以看到有三个未知数，但只有两个方程，这就是为什么说没有给定 时解空间反而更大了。将 视为可变参数，可以解出：方便起见，我们约定 。特别地，这个结果并不需要限定 ，不过为了简化参数设置，同时也为了跟以往的结果对齐，这里还是约定 。
现在我们在只给定 的情况下，通过待定系数法求解了 的一簇解，它带有一个自由参数 。用《生成扩散模型漫谈：DDPM = 拆楼 + 建楼》中的“拆楼-建楼”类比来说，就是我们知道楼会被拆成什么样【、】，但是不知道每一步怎么拆【】，然后希望能够从中学会每一步怎么建【】。当然，如果我们想看看每一步怎么拆的话，也可以反过来用贝叶斯公式：接下来的事情，就跟上一篇文章一模一样了：我们最终想要 而不是 ，所以我们希望用：来估计 ，由于没有改动 ，所以训练所用的目标函数依然是 （除去权重系数），也就是说训练过程没有改变，我们可以用回 DDPM 训练好的模型。而用 替换掉式（7）中的 后，得到：这就求出了生成过程所需要的 。它的特点是训练过程没有变化（也就是说最终保存下来的模型没有变化），但生成过程却有一个可变动的参数 ，就是这个参数给 DDPM 带来了新鲜的结果。
原则上来说，我们对 没有过多的约束，但是不同 的采样过程会呈现出不同的特点，我们举几个例子进行分析。这就是上一篇文章所推导的 DDPM。特别是，DDIM 论文中还对 做了对比实验，其中 。第二个例子就是取 ，这也是前两篇文章所指出的 的两个选择之一，在此选择下式（10）未能做进一步的化简，但 DDIM 的实验结果显示此选择在 DDPM 的标准参数设置下表现还是很好的。最特殊的一个例子是取 ，此时从 到 是一个确定性变换：这也是 DDIM 论文中特别关心的一个例子，准确来说，原论文的 DDIM 就是特指 的情形，其中“I”的含义就是“Implicit”，意思这是一个隐式的概率模型，因为跟其他选择所不同的是，此时从给定的 出发，得到的生成结果 是不带随机性的。后面我们将会看到，这在理论上和实用上都带来了一些好处。
值得指出的是，在这篇文章中我们没有以 为出发点，所以前面的所有结果实际上全都是以 相关记号给出的，而 则是通过 和 派生出来的记号。从损失函数 可以看出，给定了各个 ，训练过程也就确定了。高观点2：DDPM 的训练结果实质上包含了它的任意子序列参数的训练结果。
具体来说，设 是 的任意子序列，那么我们以 为参数训练一个扩散步数为 步的 DDPM，其目标函数实际上是原来以 的 T 步 DDPM 的目标函数的一个子集！所以在模型拟合能力足够好的情况下，它其实包含了任意子序列参数的训练结果。那么反过来想，如果有一个训练好的 T 步 DDPM 模型，我们也可以将它当成是以 为参数训练出来的 步模型，而既然是 步的模型，生成过程也就只需要 步了，根据式（10）有：这就是加速采样的生成过程了，从原来的 T 步扩散生成变成了 步。要注意不能直接将式（10）的 换成 ，因为我们说过 是派生记号而已，它实际上等于 ，因此 要换成 才对。同理， 也不是直接取 ，而是在将其定义全部转化为 符号后，将 t 替换为 、 替换为 ，比如式（11）对应的 为：可能读者又想问，我们为什么干脆不直接训练一个 步的扩散模型，而是要先训练 步然后去做子序列采样？笔者认为可能有两方面的考虑：一方面从 步生成来说，训练更多步数的模型也许能增强泛化能力；另一方面，通过子序列 进行加速只是其中一种加速手段，训练更充分的 T 步允许我们尝试更多的其他加速手段，但并不会显著增加训练成本。
原论文对不同的噪声强度和扩散步数 做了组合对比，大致上的结果是“噪声越小，加速后的生成效果越好”，如下图：
▲ DDIM 的实验结果，显示噪声越小，加速后的生成效果越好
笔者的参考实现如下：
https://github.com/bojone/Keras-DDPM/blob/main/ddim.py1. 可能跟直觉相反，生成过程中的 越小，最终生成图像的噪声和多样性反而相对来说越大；2. 扩散步数 越少，生成的图片更加平滑，多样性也会有所降低；3. 结合 1、2 两点得知，在扩散步数 减少时，可以适当缩小 $\sigma_t，以保持生成图片质量大致不变，这跟 DDIM 原论文的实验结论是一致的；4. 在 较小时，相比可训练的 Embedding 层，用固定的 Sinusoidal 编码来表示 t 所生成图片的噪声要更小；5. 在 较小时，原论文的 U-Net 架构（Github 中的 ddpm2.py [5]）要比笔者自行构思的 U-Net 架构（Github 中的 ddpm.py [6]）所生成图片的噪声要更小；6. 但个人感觉，总体来说不带噪声的生成过程的生成效果不如带噪声的生成过程，不带噪声时生成效果受模型架构影响较大。此外，对于 时的 DDIM，它就是将任意正态噪声向量变换为图片的一个确定性变换，这已经跟 GAN 几乎一致了，所以跟 GAN 类似，我们可以对噪声向量进行插值，然后观察对应的生成效果。但要注意的是，DDPM 或 DDIM 对噪声分布都比较敏感，所以我们不能用线性插值而要用球面插值，因为由正态分布的叠加性，如果 一般就不服从 ，要改为：
▲ DDIM随机向量的插值生成效果
最后，我们来重点分析一下 的情形。此时（12）可以等价地改写成：当 T 足够大，或者说 与 足够小时，我们可以将上式视为某个常微分方程的差分形式。特别地，引入虚拟的时间参数 s，我们得到：不失一般性，假设 ，其中 对应 、 对应 。注意 DDIM 原论文直接用 作为虚拟时间参数，这原则上是不大适合的，因为它的范围是，无界的区间不利于数值求解。那么现在我们要做的事情就是在给定 的情况下，去求解出 。而 DDPM 或者 DDIM 的迭代过程，对应于该常微分方程的欧拉方法 [7]。众所周知欧拉法的效率相对来说是最慢的，如果要想加速求解，可以用 Heun 方法 [8]、R-K 方法 [9] 等。也就是说，将生成过程等同于求解常微分方程后，可以借助常微分方程的数值解法，为生成过程的加速提供更丰富多样的手段。事实上，由于每个 都很接近于 1，所以上述估计其实也是一个很好的近似。而我们说了本文的出发点是 ，所以应该以 为起点，根据上述近似，我们可以直接简单地取：
如果取 为参数，那么正好 ，此时 ，代入到式（17）化简得：也可以取 为参数，此时也有 ，以及 ，代入到式（17）化简得：
本文接着上一篇 DDPM 的推导思路来介绍了 DDIM，它重新审视了 DDPM 的出发点，去掉了推导过程中的 ，从而获得了一簇更广泛的解和加速生成过程的思路，最后这簇新解还允许我们将生成过程跟常微分方程的求解联系起来，从而借助常微分方程的方法进一步对生成过程进行研究。[1] https://book.douban.com/subject/3249247/
[2] https://book.douban.com/subject/1239791/
[3] https://book.douban.com/subject/3788399/
[4] https://arxiv.org/abs/2010.02502
[5] https://github.com/bojone/Keras-DDPM/blob/main/ddpm2.py
[6] https://github.com/bojone/Keras-DDPM/blob/main/ddpm.py
[7] https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_method
[8] https://en.wikipedia.org/wiki/Heun%27s_method
[9] https://en.wikipedia.org/wiki/Runge%E2%80%93Kutta_methods
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